Принцип двойственности. разложение булевых функций по переменным

Множество В, на котором определены две бинарные операции (конъюнкция и дизъюнкция) и одна унарная операция (отрицание) и выделены два элемента 0 и 1 называется булевой алгеброй.

Причем для этих операций необходимо выполнение следующих свойств:

Ассоциативность

Коммутативность

Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции

Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

Идемпотентность

Двойное отрицание

Свойства констант

Правила де Моргана

Закон противоречия

Закон исключенного третьего

В алгебре логики эти законы называются равносильностями.

Совершенные нормальные формы

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Введем обозначения:

; А А =1; Х А =1, если Х=А, Х А =0, если ХА.

Формула Х А 1…… Х А n , где А=- какой-либо двоичный набор, а среди переменных Хi могут быть совпадающие называется элементарной конъюнкцией.

Всякая дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Элементарная конъюнкция называется правильной, если в нее каждая переменная входит не более одного раза (включая ее вхождение под знаком отрицания).

Например: 1) (значок конъюнкции в данном случае опущен).

1),4) - правильные элементарные конъюнкции;

2)- переменная х входит один раз сама и второй раз под знаком отрицания;

Переменная y входит трижды: один раз сама и два раза под знаком отрицания.

Правильная элементарная конъюнкция называется полной относительно переменных х 1 …..х n , если в нее входит каждая их этих переменных причем только один раз (может быть и пол знаком отрицания).

Например: из перечисленных в предыдущем примере конъюнкций полной является только 4) относительно переменных x,y,z,t; а относительно переменных x,y,z полной является только 1).

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) относительно переменных х 1 …..х n называется дизъюнктивная нормальная форма, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций и все элементарные конъюнкции правильны и полны относительно переменных х 1 …..х n

Разложение по переменным

Теорема 1. Всякая логическая функция может быть представлена в СДНФ:

где m, а дизъюнкция берется по всем 2 m наборам значений переменных х 1 ,…х m . Функция f разложена по первым n-переменным. Данное равенство называется разложением по переменным. х 1 ,…х m . Например при n=4, m=2 разложение имеет вид:

теорема доказывается подстановкой в обе части равенства (1) произвольного набора (b 1 ,…,b m , b m+1 ,…,b n) всех n-переменных.

При m = 1 из (1) получаем разложение функции по одной переменной:

Очевидно, что аналогичное разложение справедливо для любой из n- переменных.

Другой важный случай когда n=m. При этом все переменные в правой части (1) получают фиксированные значения и функции в конъюнкции правой части становятся равными 0 или 1, что дает:

где дизъюнкция берется по всем наборам (b 1 …b n), на которых f=1. При f=0 множество конъюнкций в правой части пусто. Такое разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой. СДНФ функции f содержит ровно столько конъюнкций, сколько единиц получается в таблице истинности f. Каждому единичному набору (b 1 ,…, b n) соответствует конъюнкция всех переменных, в которой x i взято с отрицанием, если b i =0 b ,и без отрицания, если, b i =1. Таким образом существует взаимно однозначное соответствие между таблицей истинности функции f и ее СДНФ, и,следовательно, СДНФ для всякой логической функции единственна. Единственная функция не имеющая СДНФ - это константа 0.

Теорема 2 . Всякая логическая функция может быть представлена в виде булевой формулы.

Действительно, для всякой функции, кроме константы 0, таким представлением может служит ее СДНФ. Константу 0 можно представить булевой формулой.

Обозначим через . Тогда

x s =

В частности, тогда и только тогда, когда .

С помощью “степенной функции” всякую булеву функцию можно представить в виде:

называемом разложением булевой функции по переменной .

В самом деле, если , то , и

Если , то , и

Пример 4.

Разложим функцию по переменной . Для этого сначала построим таблицу функции :

Из таблицы видно, что и .

Используя формулу разложения по переменной , находим

Пример 5.

Разложим функцию из примера 4 по всем переменным. Так как функция принимает значение 1 на трех наборах: , то согласно следствию из теоремы о разложении, имеем

Определение 3.

Разложение булевой функции по всем переменным в виде

называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Пример 6.

- СДНФ для функции (см. пример 5).

Теорема 2.

Всякая булева функция (кроме 0) имеет единственную СДНФ.

Доказательство. Согласно следствию из теоремы о разложении

Замечание. Если под дизъюнкцией одного слагаемого понимать само это слагаемое, то дизъюнкции нуля слагаемых не существует, поэтому не существует СДНФ для функции 0.

При построении СДНФ имеет место следующее

Правило единицы. принимает значение 1; для каждого такого набора в СДНФ делается заготовка слагаемого . Если в данном наборе аргументов , то над переменной в заготовленном слагаемом навешивается отрицание: .

Теорема 3.

Всякая булева функция может быть выражена через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание:

Доказательство.

Если , то . Если , то

Теорема 4.

Всякая булева функция (кроме 1) может быть единственным образом выражена в виде совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ):

Доказательство.

Если , то и

Применив к последнему тождеству принцип двойственности, находим

При построении СКНФ имеет место следующее

Правило нуля. Рассматриваются только те наборы аргументов, на которых функция принимает значение 0; для каждого такого набора в СКНФ делается заготовка сомножителя . Если в данном наборе аргументов , то над переменной в заготовленном сомножителе навешивается отрицание: .

Пример 7.

Построим функцию для импликации: . Импликация принимает значение 0 на одном наборе:

Так как в этом наборе и , то по правилу нуля получаем

.

Итак, - искомая функция для импликации.

Полнота системы

Определение 4. Система функций {f 1 , f 2 , ..., f s , ...}ÌP 2 называется полной в Р 2 , если любая функция f (x 1 , ..., x n ) Î P 2 может быть записана в виде формулы через функции этой системы.

Полные системы

1. P 2 – полная система.

2. Система M ={x 1 &x 2 , x 1 Úx 2 , } – полная система, т.к. любая функция алгебры логики может быть записана в виде формулы через эти функции.

Пример 8. Неполные системы: { }, {0,1}.

Лемма (достаточное условие полноты)

Пусть система U = {f 1 , f 2 , ..., f s , ...} полна в Р 2 . Пусть B = {g 1 , g 2 , ..., g k , ...} – некоторая система из Р 2 , причем любая функция f i Î U может быть выражена формулой над B , тогда система B полна в Р 2 .

7. Система {x 1 &x 2 , x 1 Åx 2 , 0, 1} полна в Р 2 , U = {x 1 &x 2 , }, = x 1 Å1.

Полином Жегалкина

f (x 1 , ..., x n ) Î P 2 , представим ее в виде формулы через конъюнкцию и сумму по модулю два, используя числа 0 и 1. Это можно сделать, так как {x 1 &x 2 , x 1 Åx 2 , 0, 1} полна в Р 2 . В силу свойства x & (y Åz ) = xy Å xz можно раскрыть все скобки, привести подобные члены, и получится полином от n переменных, состоящий из членов вида х х ...х , соединенных знаком Å. Такой полином называется полиномом Жегалкина.

Общий вид полинома Жегалкина:

где , s = 0, 1, ..., n , причем при s = 0 получаем свободный член а 0 .

Представление функции в виде полинома Жегалкина

1. Представим любую функцию формулой над {x 1 &x 2 , } и сделаем замену =x Å1. Этот способ удобен, если функция задана формулой.

Пример 9 . (x 1 (x 2 x 3))(x 1 Ú x 2) x 3 = (x 1 Ú x 2 Ú x 3)(x 1 Ú x 2) x 3 = (`x 1 x 2 Ú x 1 x 3 Ú x 1 x 2 Ú x 2 Ú x 2 x 3)x 3 = (`x 1 x 3 Ú x 2)x 3 = x 1 x 3 x 2 x 3 = ((x 1 x 3 Å1)x 2 Å1)x 3 = x 1 x 2 x 3 Åx 2 x 3 Åx 3 .

Надо помнить, что четное число одинаковых слагаемых в сумме по mod 2 дает 0.

2. Метод неопределенных коэффициентов. Он удобен, если функция задана таблицей.

Пример 10 .

Запишем с неопределенными коэффициентами полином Жегалкина для функции трех переменных f (x 1 , x 2 , x 3) = (01101001) = а 0 Å а 1 х 1 Å а 2 х 2 Å а 3 х 3 Å b 1 x 1 x 2 Å b 2 x 2 x 3 Åb 3 x 1 x 3 Åcx 1 x 2 x 3 . Затем находим коэффициенты, используя значения функции на всех наборах. На наборе (0, 0, 0) f (0, 0, 0) = 0, с другой стороны, подставив этот набор в полином, получим f (0, 0, 0) = а 0 , отсюда а 0 = 0. f (0, 0, 1) = 1, подставив набор (0, 0, 1) в полином, получим: f (0, 0, 1) = а 0 Å а 3 , т.к. а 0 = 0, отсюда а 3 = 1. Аналогично, f (0, 1, 0) = 1 = а 2 , f(0, 1, 1) = 0 = а 2 Å а 3 Å b 2 b 2 = 0; а 1 = 1; 0 = а 1 Å а 3 Å b 3 , b 3 = 0; 0 = а 1 Å а 2 Å b 1 , b 1 = 0; 1 = 1 Å 1 Å 1 Å c ; c = 0; тогда полином Жегалкина для данной функции примет вид: f (x 1 , x 2 , x 3) = x 1 Å x 2 Å x 3 .

Многочлен Жегалкина можно получить также с помощью треугольника Паскаля по единицам его левой стороны по таблице следующим образом. Построим многочлен Жегалкина для функции f = (10011110). Верхняя сторона треугольника есть функция f . Любой другой элемент треугольника есть сумма по модулю для двух соседних элементов предыдущей строки. Левая сторона треугольника для функции f содержит шесть единиц. Многочлен Жегалкина будет содержать шесть слагаемых. Первая единица треугольника соответствует набору (000). Первое слагаемое многочлена есть 1. Третья снизу единица в левой стороне треугольника соответствует набору (101). В качестве слагаемого многочлена берем x 1 x 3 . Аналогично для других единиц треугольника. Слева от наборов показаны слагаемые многочлена Жегалкина.

Теорема Жегалкина

Каждая функция из может быть представлена в виде полинома Жегалкина единственным образом.

Здесь единственность понимается с точностью до порядка слагаемых в сумме и порядка сомножителей в конъюнкциях:

, s = 0, 1, ..., n .

Доказательство.

Любая функция из Р 2 может быть представлена формулой над {x 1 & x 2 , x 1 Å x 2 , 0, 1}, а эта формула после раскрытия всех скобок и приведения подобных членов дает полином Жегалкина. Докажем единственность представления. Рассмотрим функции f (x 1 , ..., x n ) от n переменных. Мы знаем, что всего таких функций, т.е. их таблиц истинности, 2 n . Подсчитаем число различных полиномов Жегалкина от n переменных, т.е. число вариаций вида: . Число наборов равно числу всех подмножеств множества { x 1 , ..., x n }, сюда входит и пустое множество (если s = 0). Число подмножеств множества из n элементов равно 2 n , а так как каждый набор входит с коэффициентом , принимающим два значения: 0 или 1, то число всевозможных полиномов будет . Так как каждому полиному соответствует единственная функция, число функций от n переменных равно числу полиномов, то каждой функции будет соответствовать единственный полином.

Определение.

Функция f (x 1 , ..., x n ), полином Жегалкина для которой имеет следующий линейный относительно переменных вид: f = а 0 Å а 1 х 1 Å а 2 х 2 Å ... Å а n х n , называется линейной.

Лемма о нелинейной функции .

Суперпозицией нелинейной функции, отрицания и константы 1 можно получить конъюнкцию.

Доказательство.

Пусть f (x 1 , ..., x n ) – нелинейная функция. Тогда полином Жегалкина содержит для нее слагаемое, в котором присутствует произведение x i x j . Будем считать для простоты, что x 1 x 2 в многочлене Жегалкина является этим произведением. Произведя группировку слагаемых, функцию f представим в виде

Функция h 0 не есть тождественный нуль, иначе в полиноме Жегалкина отсутствует слагаемое с произведением x 1 x 2 . Тогда существует набор (a 3 , …, a n ) из 0 и 1, для которого h 0 (a 3 , …, a n ) = 1. Пусть h 1 (a 3 , …, a n ) = a , h 2 (a 3 , …, a n ) = b , h 3 (a 3 , …, a n ) = c . Тогда

Построим функцию:

Где d = ab Å c . Если d = 0, то h (x 1 , x 2) = x 1 x 2 . Если d = 1, то h (x 1 , x 2) = x 1 x 2 Å 1 и тогда Лемма доказана.

Функция f (x 1 , ..., x n) сохраняет константу a Î {0, 1}, если f (a , …, a ) = a .

Пример 11.

Функция xy сохраняет 0, сохраняет 1. Функция x ®y сохраняет 1 и не сохраняет 0.

Минимизация булевых функций

Минимизация нормальных форм

Минимальной ДНФ (МДНФ) функции f (x 1 , ... ,x n ) называется ДНФ, реализующая функцию f и содержащая минимальное число символов переменных по сравнению со всеми другими видами ДНФ, реализующими функцию f .

Если для всякого набора = (a 1 , ..., a n ) значений переменных условие g ()=1 влечёт , то функция g называется частью функции f (или функция f накрывает функцию g ). Если при этом для некоторого набора = (c 1 , ..., c n ) функция g ()=1, то говорят, что функция g накрывает единицу функции f на наборе (или что g накрывает конституенту единицы функции f ). Заметим, что конституанта единицы функции f есть часть функции f , накрывающая единственную единицу функции f .

Элементарная конъюнкция K называется импликантом функции f , если для всякого набора =(a 1 , ..., a n ) из 0 и 1 условие K ()=1 влечет f ()=1.

Импликант K функции f называется простым, если выражение, получающееся из него выбрасыванием любых множителей, уже не импликант функции f .

Ясно, что всякий импликант функции f есть часть функции f .

Теорема 5.

Всякая функция реализуется дизъюнкцией всех своих простых имликант (ПИ).

Следовательно, f = A . Теорема доказана.

Сокращенная ДНФ функции f есть дизъюнкция всех простых импликант функции f . Всякая функция f реализуется своей сокращенной ДНФ. Для всякой функции, не равной тождественно нулю, существует единственная сокращенная ДНФ.

Пусть A и B – произвольные формулы. Из свойств булевых операций вытекают следующие обратимые правила преобразования ДНФ:

1) – полное склеивание (развертывание);

2) – неполное склеивание;

3) – обобщенное склеивание;

4) – поглощение;

5) – идемпотентность (удаление дублирующих членов).

Теорема Квайна. Если в СДНФ функции f провести все операции неполного склеивания, а затем все операции поглощения и удаления дублирующих членов, то в результате получится сокращения ДНФ функции f .

Доказательство.

Пусть имеем сокращенную ДНФ функции f . Проведем все операции развертывания к каждому простому импликанту для получения недостающих переменных в каждом дизъюнктивном слагаемом сокращенной ДНФ. В полученном выражении из нескольких одинаковых дизъюнктивных слагаемых оставим только по одному экземпляру. В результате получим СДНФ функции f . Теперь, исходя из полученной СДНФ, в обратном порядке проведем операции добавления одинаковых дизъюнктивных слагаемых (с помощью правил идемпотентности), неполного склеивания и поглощения. В итоге получим исходную сокращенную ДНФ.

Рассмотрим вопрос представления n -местной булевой функции f (x 1 ,x 2 ,…,x n ) какой-нибудь формулой алгебры высказываний.

Введем обозначение, где - параметр, равный 0 или 1.

Очевидно, что

Теорема 1.1. Каждую функцию алгебры логики f (x 1 , x 2 ,…, x n ) при любом m (1 £ m £ n ) можно представить в следующей форме:

где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных .

Доказательство . Рассмотрим произвольный набор значений всех переменных данной функции. Покажем, что на этом наборе левая и правая часть формулы (1) принимают одно и то же значение. Левая часть равна , правая

т.к. , если только , если же , то и соответствующее логическое слагаемое можно отбросить.

Замечание . Указанное в теореме представление функции называется разложением функции по m переменным .

Следствие 1 (разложение по одной переменной).

В этом случае функции и называются компонентами разложения .

Следствие 2 (разложение по всем переменным).

Очевидно, что если , то

Итак, если функцияf (x 1 ,x 2 ,…,x n )не является тождественно ложной функцией, то она может быть выражена равносильной формулой, представляющей, собой логическую сумму различных произведений вида , причем такое представление единственно.

Вид формулы (2) может быть значительно упрощен. Известно, что всякая формула алгебры логики может быть путем равносильных преобразований сведена к формуле, содержащей только конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание. В результате проведения равносильных преобразований могут получиться несколько формул, однако только одна из них будет обладать следующими свойствами:

1. Каждое логическое слагаемое содержит все переменные, входящие в формулу f (x 1 ,x 2 ,…,x n ).

2. Ни одно логическое слагаемое не содержит одновременно переменную и ее отрицание.

3. Все логические слагаемые в формуле различны.

4. Ни одно логическое слагаемое не содержит одну и ту же переменную дважды.

Эти четыре свойства называются свойствами совершенства (или свойствами С).

Если f (x 1 ,x 2 ,…,x n ) задана таблицей истинности, то соответствующая формула алгебры логики восстанавливается довольно просто. Для всех значений аргументов x 1 ,x 2 ,…,x n , при которых f принимает значение 1, нужно записать конъюнкцию элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции x i , если x i =1, и , если x i =0. Дизъюнкция всех записанных конъюнкций и будет необходимой формулой. О значениях f 0 можно не беспокоиться, т.к. соответствующее слагаемое в формуле будет равно 0 и его можно отбросить в силу равносильности f Ú 0 ≡ f .

Например, пусть функция f (x , y , z ) имеет следующую таблицу истинности:

x	y	z	f (x , y , z )

Пусть G - параметр, равный 0 или 1.

Введем обозначение:

Проверкой легко установить, что x G = 1, тогда и только тогда, когда
x = G. Отсюда следует, конъюнкция равна 1 (здесь G равен 0 или 1) тогда и только тогда, когда . Например, конъюнкция (в которой G 2 = G 1 = 0, G 3 = G 4 = 1) равна 1 только в случае, когда x 1 = x 2 = 0, x 3 = x 4 = 1.

Теорема 1. Всякая булева функция f(x 1 , x 2 , x n) может быть представлена в следующей форме:

где 1 ≤ k ≤ n, в дизъюнкции берется по всем наборам значений переменных.

Это представление носит название разложения функции по переменным . Например, при n = 4, k = 2 разложение (3.1) имеет вид:

.

Докажем справедливость разложения (3.1). Для этого возьмем произвольный набор значений переменных . Покажем, что левая и правая части соотношения (3.1) принимают при нем одно и то же значение. Действительно, так как x G = 1 тогда и только тогда, когда x = G, то среди 2 К конъюнкции правой части (3.1) в единицу обращается только одна, в которой . Все остальные конъюнкции равны нулю.

Поэтому . В качестве следствия из разложения (3.1) получаем следующие два специальных разложения.

Разложение по переменной x n:

Если булева функция не есть константа 0, то справедливо разложение

Разложение по всем переменным:

, (3.3)

где дизъюнкция берется по всем наборам , при которых значение функции равно 1.

Разложение (3.3) называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (сокращенная запись СДНФ) функции.

Разложение (3.3) дает способ построения СДНФ. Для этого в таблице истинности отмечаем все строки , в которых . Для каждой такой строки образуем конъюнкцию и затем все полученные конъюнкции соединяем знаком дизъюнкции.

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей истинности функции и ее СДНФ. А это значит, что СДНФ для булевой функции единственна.

Единая булева функция, не имеющая СДНФ, есть константа 0.

Пример 1. Найти совершенную дизъюнктивную форму для функции .

Составим таблицу истинности для данной функции:

Отсюда получаем: = = .

Важную роль в алгебре логики играет следующее разложение булевых функций.

Теорема 2. Всякая булева функция может быть представлена в следующей форме:

где 1≤k≤n, а конъюнкция берется по всем 2 k наборам значений переменных.

Действительно, пусть - произвольный набор значений переменных. Покажем, что левая и правая части соотношения (3.4) принимают при нем одно и то же значение. Так как только тогда, когда , то среди 2 k дизъюнкций правой части (3.4) в 0 обращается только одна, в которой . Все остальные дизъюнкции равны 1.

Поэтому = = .

Непосредственно из разложения (3.4) следуют разложения булевых функций:

Последнее разложение носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ). Разложение (3.6) дает способ построения СКНФ. Для этого в таблице истинности отмечаем все строки , в которых . Для каждой такой строки образуем дизъюнкцию и затем все полученные конъюнкции соединяем знаком конъюнкции. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей истинности функции и ее СКНФ. А это значит, что СКНФ для булевой функции единственна.

Единственная булева функция, не имеющая СКНФ, есть константа 1.

Пример 2. Найти совершенную конъюнктивную нормальную форму для функции .

Составим таблицу истинности для данной функции.

Отсюда получаем СКНФ

Формула вида (краткая запись ), где - конъюнкции называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

В силу приведенного определения ДНФ будут, например, выражения: , .

Как отмечено в пункте 2.2, все логические операции можно свести к трем: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Причем, ввиду закона
де Моргана, знак отрицания можно предполагать отнесенным только к переменным.

Теперь, используя дистрибутивный закон, раскрываем скобки и получаем дизъюнктивную нормальную форму. Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей дизъюнктивная нормальная форма.

Доказательство данной теоремы дает способ построения дизъюнктивной нормальной формы для любой формулы алгебры логики.

Пример 3. Найти дизъюнктивную нормальную форму для следующей формулы: .

Исключая знак по закону и применяя законы де Моргана и двойного отрицания, получаем:

Затем, применяя закон дистрибутивности, раскроем скобки

Последнее выражение есть дизъюнктивная нормальная форма.

Форма вида (краткая запись ), где - дизъюнкции называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Такими являются, например, выражения:

, .

Как показано выше, для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей дизъюнктивная форма. Используя дистрибутивный закон , из данной ДНФ легко получить КНФ.

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Для любой формулы алгебры логики существует равносильная ей конъюнктивная нормальная форма.

Доказательство данной теоремы дает способ построения конъюнктивной нормальной формы для любой формулы алгебры логики.

Пример 4. Найти дизъюнктивную и конъюнктивную нормальные формы для следующей формулы: .

Используя закон , исключаем знак . Получаем формулу .

Используя закон де Моргана, получаем формулу . Раскрывая скобки, получаем дизъюнктивную нормальную форму

.

Чтобы получить конъюнктивную нормальную форму, применим к формуле дистрибутивный закон, получаем:

Последнее выражение является конъюнктивной нормальной формой. Так как и , то полученная КНФ равносильна следующей КНФ:

Среди всех нормальных формул данной формулы выделим совершенную нормальную форму как дизъюнктивную, так и конъюнктивную. Учитывая разложение (3), нетрудно заметить, что совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы алгебры логики, содержащей ровно n различных переменных, есть ее дизъюнктивная нормальная форма, в которой:

1) все конъюнкции попарно различны;

2) каждая конъюнкция содержит ровно n переменных;

3) в каждой конъюнкции встречаются все n переменных.

На примере 1 мы рассмотрели один из способов построения СДНФ, основанный на составлении таблицы истинности. Следующий способ построения СДНФ основан на применении законов алгебры логики.

Пример 5. Найти совершенную дизъюнктивную форму формулы .

Используя, что , получаем . Ввиду законов
де Моргана и двойного отрицания имеем получили дизъюнктивную нормальную форму . Данная ДНФ равносильна формуле .

Раскрывая скобки, получаем: .

Используя закон идемпотентности, получаем требуемую СДНФ:

Учитывая разложение (3.6), нетрудно заметить, что совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы алгебры логики, содержащей ровно n различных переменных, есть ее конъюнктивная нормальная форма, в которой:

1) все дизъюнкции попарно различны;

2) каждая дизъюнкция содержит ровно n членов;

3) в каждой дизъюнкции встречаются все n переменных., если она при всех значениях входящих в нее переменных принимает значение истинно .

Примерами тождественно истинных формул являются формулы:

тождественно ложной , если она при всех значениях, входящих в нее переменных, принимает значение ложь.

Примерами тождественно ложных формул являются формулы:

Формула алгебры логики называется выполнимой , если она при некоторых значениях, входящих в нее переменных, принимает значение истинно.

Примерами выполнимых формул являются следующие формулы:

В алгебре логики можно поставить следующую задачу: указать способ (алгоритм), позволяющий для каждой формулы алгебры логики выяснить, является она тождественно истинной или нет. Поставленная задача носит название проблемы разрешения.

Рассмотрим следующие два способа решения этой задачи.

Способ 1. (табличный) Для того, чтобы определить, является ли данная формула тождественно истинной или нет, достаточно составить ее таблицу истинности.

Однако данный способ, хотя и дает принципиальное решение проблемы разрешимости, он довольно громоздкий.

Способ 2. основан на приведении формул к нормальной форме.

Теорема 4. Формула алгебры логики тогда и только тогда является тождественно истинной, когда каждая дизъюнкция в ее конъюнктивной нормальной форме содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием.

Действительно, если каждая дизъюнкция в конъюнктивной нормальной форме содержит переменную вместе с ее отрицанием, то все дизъюнкции равны 1, ибо , . Отсюда следует, что КНФ является тождественно истинной.

Пусть теперь данная формула является тождественно истинной, и пусть есть некоторая дизъюнкция в КНФ данной формулы. Допустим, что данная дизъюнкция не содержит переменной вместе с ее отрицанием. В таком случае мы можем каждой переменной, не стоящей под знаком отрицания, дать значение 0, а каждой переменной, стоящей под знаком отрицания - значение 1. После указанной подстановки все дизъюнкции станут равны 0, следовательно, формула не является тождественно истинной. Получили противоречие.

Пример 7. Выяснить, будет ли тождественно истинной формула

Используя, что , получаем .

Применяя закон дистрибутивности, получаем КНФ:

Так как каждая дизъюнкция содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием, то формула тождественно истинна.

Аналогично предыдущей теореме доказывается теорема:

Теорема 5. Формула алгебры логики тогда и только тогда является тождественно ложной, когда каждая конъюнкция в ее дизъюнктивной форме содержит некоторую переменную вместе с ее отрицанием .

Пусть s принимает значения 0 или 1, т.е. s {0, 1}.

Введем обозначение:

x s = Øx , если s = 0, x s = x , если s = 1.

Т.е. x 0 = Øx , x 1 = x .

Очевидно, что x s = 1, если x = s и x s = 0, если x s .

Теорема 4.5 (о разложении булевой функции по переменным).

Каждая булева функция f (x 1 , x 2 , ... , x n ) может быть представлена в виде:

f (x 1 , x 2 , ... , x n ) = f (x 1 , x 2 , ... , x m , x m +1 , ... , x n ) =

V x 1 s 1 &x 2 s 2 &...&x m sm & f (s 1 , s 2 , ... s m , x m +1 , ... , x n ), (4.1)

m n , где дизъюнкция берется по всем наборам (s 1 , s 2 , ... , s m ) (их 2 m ).

Например, для m = 2, n = 4 разложение (4.1) включает в себя четыре (2 m = 2 2 =4) конъюнкции и имеет вид:

f (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = x &x &f (0, 0, x 3 , x 4) V x &x &f (0, 1, x 3 , x 4) V x & x &f (1, 0, x 3 , x 4) V x & x &f (1, 1, x 3 , x 4) = Øx 1 &Øx 2 &f (0, 0, x 3 , x 4) V Øx 1 &x 2 &f (0, 1, x 3 , x 4) V x 1 &Øx 2 &f (1, 0, x 3 , x 4) V x 1 &x 2 &f (1, 1, x 3 , x 4).

Доказательство теоремы 4.5.

Теорема будет доказана, если показать, что равенство (4.1) выполняется для произвольного набора переменных (y 1, y 2 , ... , y m , y m +1 , ... , y n ) .

Подставим этот произвольный набор переменных в левую и правую части равенства (4.1).

В левой части получим f (y 1, y 2 , ... , y n ) .

Т. к. y s = 1 только, когда y = s , то среди 2 m конъюнкций y 1 s 1 &y 2 s 2 &...&y m sm в правой части (4.1) только одна обратится в 1 – та, в которой y 1 = s 1 ,…, y m = s m . Все остальные конъюнкции равны 0. Поэтому в правой части (4.1) получим:

y 1 y 1 &y 2 y 2 &...&y m ym &f (y 1, y 2 , ... , y m , y m +1 , ... , y n ) = f (y 1, y 2 , ... , y n ) .

Теорема 4.5 доказана.

Теорема 4.6 (о представлении булевой функции формулой в СДНФ),

Всякая булева функция f (x 1 , x 2 , ... , x n ),не равная тождественно 0, может быть представлена формулой в СДНФ, которая определяется однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Доказательство.

При m = n получим важное следствие теоремы 4.5:

f (x 1 , x 2 , ... , x n ) = V x 1 s 1 &x 2 s 2 &...&x n sn , (4.2)

f (s 1 , s 2 , ... , s n ) = 1

где дизъюнкция берется по всем наборам (s 1 , s 2 , ... , s n ), на которых f = 1.

Очевидно, что разложение (4.2) есть не что иное, как СДНФ формулы f , которая содержит столько конъюнкций, сколько единиц в таблице значений f . Следовательно, СДНФ для всякой булевой функции единственна с точностью до перестановки ее дизъюнктивных членов.

Очевидно также, что для булевой функции f (x 1 , x 2 , ... , x n ), тождественно равной 0, разложение (2) не существует.

В силу изложенного для получения формулы булевой функции f (x 1 , x 2 , ... , x n ) в СДНФ можно воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм 4.3. (Алгоритм представления булевой функции, заданной таблицей, формулой в СДНФ).

Шаг 1. s 1 , s 2 , ... , s n , для которых значение f равно 1, т. е. f (s 1 , s 2 , ... , s n ) = 1.

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем конъюнкцию x 1 s 1 &x 2 s 2 &...&x n sn , где x i si = x i , если s i = 1 и x i si =Øx i , если s i = 0, i = 1, 2, ... ,n .

Шаг 3. Составляем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций. В результате получится формула данной функции в СДНФ.

Пример 4.15.

Найдем формулу в СДНФ для функции f (x 1 , x 2 , x 3), заданной таблицей 4.4.

f (x 1 , x 2 , x 3) =1. Это 4-ая, 5-ая. 6-ая и 8-ая строки.

2. Для каждой выбранной строки составляем конъюнкции по правилу, указанному в шаге 2. Получим соответственно для четырех выбранных строк:

x 1 0 &x 2 1 &x 3 1 = Øx 1 &x 2 &x 3 .

x 1 1 &x 2 0 &x 3 0 = x 1 &Øx 2 &Øx 3 .

x 1 1 &x 2 0 &x 3 1 = x 1 &Øx 2 &x 3 .

x 1 1 &x 2 1 &x 3 1 = x 1 &x 2 &x 3 .

3. Составляем дизъюнкцию всех полученных конъюнкций и находим СДНФ:

f (x 1 , x 2 , x 3) = Øx 1 &x 2 &x 3 V x 1 &Øx 2 &Øx 3 V x 1 &Øx 2 &x 3 V x 1 &x 2 &x 3 .

Убеждаемся, что это выражение совпадает с полученным ранее в примере 4.13 представлением нашей формулы в СДНФ.

Замечание. Если булева функция задана формулой в СДНФ, то, применяя алгоритм 4.3 в обратной последовательности, легко можем получить таблицу значений этой функции.

Теорема 4.7 (о представлении булевой функции формулой в СКНФ),

Всякая булева функция f (x 1 , x 2 , ... , x n ),не равная тождественно 1, может быть представлена формулой в СКНФ, которая определяется однозначно с точностью до перестановки дизъюнктивных членов.

Доказательство.

Рассмотрим функцию Øf (x 1 , x 2 , ... , x n ). В соответствии с теоремой 4.6, если она не равна тождественно 0, существует ее формула в СДНФ. Обозначим эту формулу F 1 . Очевидно, условие, что функция Øf (x 1 , x 2 , ... , x n ) не равна тождественно 0, равносильно условию, что функция f (x 1 , x 2 , ... , x n ) не равна тождественно 1. Кроме того, по закону де Моргана формула F 2 º ØF 1 находится в СКНФ (отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний). По закону двойного отрицания

F 2 º ØF 1 º ØØf (x 1 , x 2 , ... , x n ) º f (x 1 , x 2 , ... , x n ),

что и доказывает теорему.

Для получения формулы булевой функции f (x 1 , x 2 , ... , x n ) в СКНФ следует воспользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм 4.4. (Алгоритм представления булевой функции, заданной таблицей, формулой в СКНФ)

Шаг 1. Выбираем в таблице все наборы переменных s 1 , s 2 , ... , s n , для которых значение f (s 1 , s 2 , ... , s n ) = 0.

Шаг 2. Для каждого такого набора (строки таблицы) составляем дизъюнкцию

x 1 Ø s 1 Vx 2 Ø s 2 V...Vx n Ø sn , где x i Ø si = x i , если s i = 0 и x i Ø si = Øx i , если s i = 1, i = 1, 2, ... , n .

Шаг 3. Составляем конъюнкцию всех полученных дизъюнкций. В результате получится СКНФ.

Пример 4.16.

Найдем формулу в СКНФ для функции f (x 1 , x 2 , x 3), заданной таблицей 4.4.

1. Выберем в таблице строки, где f (x 1 , x 2 , x 3) = 0. Это 1-ая, 2-ая и 3-я и 7-ая строки.

2. Для каждой выбранной строки составляем дизъюнкции по правилу, указанному в шаге 2. Получим соответственно для трех выбранных строк:

x 1 1 Vx 2 1 Vx 3 1 = x 1 Vx 2 Vx 3 .

x 1 1 Vx 2 1 Vx 3 0 = x 1 Vx 2 VØx 3 .

x 1 1 Vx 2 0 Vx 3 1 = x 1 VØx 2 Vx 3 .

x 1 0 Vx 2 0 Vx 3 1 = Øx 1 VØx 2 V x 3 .

3. Составляем конъюнкцию всех полученных дизъюнкций и находим СКНФ:

f (x 1 , x 2 , x 3) = (x 1 Vx 2 Vx 3)&(x 1 Vx 2 VØx 3)&(x 1 VØx 2 Vx 3)&(Øx 1 VØx 2 Vx 3).

Это выражение совпадает с полученным ранее в примере 4.14 представлением нашей формулы в СКНФ.

Замечание. Т. к. всего строк в таблице функции 2 n , то, если число дизъюнктивных членов в СДНФ равно p , а число конъюнктивных членов в СКНФ равно q , то p +q =2 n .

Так, для функции, рассмотренной в примерах 4.15 и 4.16, n = 3, p = 4, q = 4, p + q = 8 = 2 3 .