Определители, их вычисление и свойства. Вычисление определителя матрицы, примеры, решения Все свойства определителей

Можно поставить в соответствие некоторое число , вычисляемое по определенному правилу и называемое определителем .

Необходимость введения понятия определителя - числа , характеризующего квадратную матрицу порядка n , тесно связано с решением систем линейных алгебраических уравнений .

Определитель матрицы А будем обозначать: |А | или D.

Определителем матрицы первого порядка А = (а 11) называется элемент а 11 . Например, для А = (-4) имеем |А | = -4.

Определителем матрицы второго порядка называется число , определяемое по формуле

|А | = .

Например, |А | = .

Словами это правило можно записать так: со своим знаком надо взять произведение элементов, соединенных главной диагональю , и произведения элементов, соединенных вершинами треугольников, у которых основание параллельно главной диагонали . С обратным знаком берутся аналогичные произведения, только относительно побочной диагонали.

Например,

Определение определителя матрицы n -го порядка давать не будем, а лишь покажем метод его нахождения.

В дальнейшем, вместо слов определитель матрицы n -го порядка будем говорить просто определитель n -го порядка . Введем новые понятия.

Пусть дана квадратная матрица n -го порядка.

Минором М ij элемента а ij матрицы А называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij матрицы А называется его минор, взятый со знаком (-1) i+j:

А ij = (-1) i + j М ij ,

т.е. алгебраическое дополнение либо совпадает со своим минором, когда сумма номеров строки и столбца - четное число, либо отличается от него знаком, когда сумма номеров строки и столбца - нечетное число.

Например, для элементов а 11 и а 12 матрицы А = миноры

М 11 = А 11 = ,

М 12 = ,

а А 12 = (-1) 1+2 М 12 = -8.

Теорема (о разложении определителя) . Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

|А | = а i1 A i1 + а i2 A i2 + … + а in A in ,
для любого i = 1, 2, …, n

|А | = а 1j A 1j + а 2j A 2j + … + а nj A nj ,

для любого j = 1, 2, …, n

Первая формула называется i -ой строки, а вторая - разложением определителя по элементам j -го столбца.

Нетрудно понять, что с помощью этих формул любой определитель n -го порядка можно свести к сумме определителей, порядок которых будет на 1 меньше и т.д. пока не дойдем до определителей 3-го или 2-го порядков, вычисление которых уже не представляет трудности.

Для нахождения определителя могут быть применены следующие основные свойства:

1. Если какая-нибудь строка (или столбец) определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.

2. При перестановке любых двух строк (или двух столбцов) определитель умножается на -1.

3. Определитель с двумя одинаковыми или пропорциональными строками (или столбцами) равен нулю.

4. Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Величина определителя не изменится, если все строки и столбцы поменять местами.

6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк (или к одному из столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число.

7. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Введение понятия определителя матрицы позволяет определить еще одно действие с матрицами - нахождение обратной матрицы.

Для каждого ненулевого числа существует обратное число, такое, что произведение этих чисел дает единицу. Для квадратных матриц тоже существует такое понятие.

Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А , если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица , т.е.

А ×А -1 = А -1 × А = Е.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица будет квадратной того же порядка. Однако не каждая квадратная матрица имеет свою обратную.

Постановка задачи

Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица , и различными способами их вычислений. В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры , но с легкостью сможет воспользоваться результатами данной работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений . Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры.

Основные определения и простейшие свойства

Определитель

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным , то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы будем обозначать или det .

Определение 1. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число .

Определителем квадратной матрицы порядка , называется число

где - определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

Замечание. Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.

Замечание. В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.

Замечание. В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение det .

Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде утверждений.

Утверждение 1. При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

Утверждение 2. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .

Утверждение 3. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

Утверждение 4. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

Утверждение 5. Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

Утверждение 6. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

Утверждение 7. Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

Утверждение 8. Пусть в матрице i-ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой i-ой строки на строку , а матрица - заменой i-ой строки на строку .

Утверждение 9. Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

Утверждение 10. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

Определение 2. Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где - определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается .

Пример. Пусть . Тогда

Замечание. Используя алгебраические дополнения, определение 1 определителя можно записать так:

Утверждение 11. Разложение определителя по произвольной строке.

Для определителя матрицы справедлива формула

Пример. Вычислите .

Решение. Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех - нули. Получим

Утверждение 12. Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение .

Утверждение 13. Все свойства определителя, сформулированные для строк (утверждения 1 - 11), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по j-ому столбцу и равенство при .

Утверждение 14. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Следствие. Определитель единичной матрицы равен единице, .

Вывод. Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.

Алгоритм создания нулей в столбце. Пусть требуется вычислить определитель порядка . Если , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по утверждениям 1, 13 ее определитель равен нулю.

Итак, считаем, что уже в исходной матрице . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число . Тогда первый элемент второй строки будет равен .

Остальные элементы новой второй строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен . Первую строку умножим на число и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен

Остальные элементы новой третьей строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен .

Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее , которая имеет вид

причем . Для вычисления определителя матрицы используем разложение по первому столбцу

Так как , то

В правой части стоит определитель матрицы порядка . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы сведется к вычислению определителя матрицы порядка . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.

Если матрица не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма - по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.

Пример. Вычислите определитель матрицы .

Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число :

Определитель не меняется. В результате получаем

По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :

К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :

В результате получаем

Ответ. .

Замечание. Хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа - целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.

Обратная матрица

Определение 3. Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .

Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

Определение 4. Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей , если , и невырожденной или неособенной матрицей , если .

Утверждение. Если обратная матрица существует, то она единственна.

Утверждение. Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и (1) где - алгебраические дополнения к элементам .

Теорема. Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (1).

Замечание. Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй - номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

Пример. .

Решение. Находим определитель

Так как , то матрица - невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения:

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй - строке: (2)

Полученная матрица (2) и служит ответом к задаче.

Замечание. В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:
(3)

Однако запись (2) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (2) предпочтительнее, если элементы матриц - целые числа. И наоборот, если элементы матрицы - десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.

Замечание. При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение. - существует.

Ответ: .

Вывод. Нахождение обратной матрицы по формуле (1) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса

Метод Гаусса можно использовать для нахождения определителя и обратной матрицы .

Именно, определитель матрицы равен det .

Обратная матрица находится решением систем линейных уравнений методом исключения Гаусса:

Где есть j-тый столбец единичной матрицы , - искомый вектор.

Полученные векторы решений - образуют, очевидно, столбцов матрицы , поскольку .

Формулы для определителя

1. Если матрица невырожденная, то и (произведение ведущих элементов).

Вычисление определителей n -го порядка:

Понятие определителя n -го порядка

Пользуясь этой статьёй об определителях, вы обязательно научитесь решать задачи вроде следующей:

Решить уравнение:

и многих других, которые так любят придумывать преподаватели.

Определитель матрицы или просто определитель играет важную роль в решении систем линейных уравнений. В общем-то определители и были придуманы для этой цели. Поскольку часто говорят также "определитель матрицы", упомянем здесь и матрицы. Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые нельзя менять местами. Квадратная матрица - таблица, у которой число строк и число столбцов одинаково. Определитель может быть только у квадратной матрицы .

Понять логику записи определителей легко по следующей схеме. Возьмём знакомую вам со школьной скамьи систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

В определителе последовательно записываются коэффициенты при неизвестных: в первой строке - из первого уравнения, во второй строке - из второго уравнения:

Например, если дана система уравнений

то из коэффициентов при неизвестных формируется следующий определитель:

Итак, пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n строках (горизонтальных рядах) и в n столбцах (вертикальных рядах). С помощью этих чисел по некоторым правилам, которые мы изучим ниже, находят число, которое и называют определителем n -го порядка и обозначают следующим образом:

(1)

Числа называют элементами определителя (1) (первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Порядок определителя – это число его строк и столбцов.

Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементы

называется главной диагональю , другая диагональ – побочной .

Вычисление определителей второго и третьего порядков

Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков.

Определитель первого порядка – это сам элемент т.е.

Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом:

, (2)

Произведение элементов, стоящих соответственно на главной и на побочной диагоналях.

Равенство (2) показывает, что со своим знаком берётся произведение элементов главной диагонали, а с противоположным – произведение элементов побочной диагонали .

Пример 1. Вычислить определители второго порядка:

Решение. По формуле (2) находим:

Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

(3)

Запомнить эту формулу трудно. Однако существует простое правило, называемое правилом треугольников , которое позволяет легко воспроизвести выражение (3). Обозначая элементы определителя точками, соединим отрезками прямой те из них, которые дают произведения элементов определителя (рис. 1).

Формула (3) показывает, что со своими знаками берутся произведения элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными – произведения элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, которые ей параллельны .

На рис.1 главная диагональ и соответствующие ей основания треугольников и побочная диагональ и соответствующие ей основания треугольников выделены красным цветом.

При вычислении определителей очень важно, как и в средней школе, помнить, что число со знаком минус, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком плюс, а число со знаком плюс, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком минус.

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение. Пользуясь правилом треугольников, получим

Вычисление определителей n -го порядка

Разложение определителя по строке или столбцу

Для вычисления определителя n -го порядка необходимо знать и использовать следующую теорему.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

Определение . Если в определителе n -го порядка выбрать произвольно p строк и p столбцов (p < n ), то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка .

Определитель этой матрицы называется минором исходного определителя. Например, рассмотрим определитель :

Из строк и столбцов с чётными номерами построим матрицу:

Определитель

называется минором определителя . Получили минор второго порядка. Ясно, что из можно построить различные миноры первого, второго и третьего порядка.

Если взять элемент и вычеркнуть в определителе строку и столбец, на пересечении которых он стоит, то получим минор, называемый минором элемента , который обозначим через :

.

Если минор умножить на , где 3 + 2 – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент то полученное произведение называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается ,

Вообще, минор элемента будем обозначать , а алгебраическое дополнение ,

(4)

Для примера вычислим алгебраические дополнения элементов и определителя третьего порядка :

По формуле (4) получим

При разложении определителя часто используется следующее свойство определителя n -го порядка:

если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить произведение соответствующих элементов другой строки или столбца на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Пример 4.

Предварительно вычтем из первой и третьей строк элементы четвёртой строки, тогда будем иметь

В четвёртом столбце полученного определителя три элемента – нули. Поэтому выгоднее разложить этот определитель по элементам четвёртого столбца, так как три первых произведения будут нулями. Поэтому

Проверить решение можно с помощью калькулятора определителей онлайн .

А в следующем примере показано, как вычисление определителя любого (в данном случае - четвёртого) порядка можно свести к вычислению определителя второго порядка.

Пример 5. Вычислить определитель:

Вычтем из третьей строки элементы первой строки, а к элементам четвёртой строки прибавим элементы первой строки, тогда будем иметь

В первом столбце все элементы, кроме первого, - нули. То есть, определитель можно уже разложить по первому столбцу. Но нам очень не хочется вычислять определитель третьего порядка. Поэтому произведём ещё преобразования: к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженные на 2, а из элементов четвёртой строки вычтем элементы второй строки. В результате определитель, являющийся алгебраическим дополнением, сам может быть разложен по первому столбцу и нам останется только вычислить определитель второго порядка и не запутаться в знаках:

Приведение определителя к треугольному виду

Определитель, где все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю, называется треугольным. Случай побочной диагонали путём изменения порядка строк или столбцов на обратный сводится к случаю главной диагонали. Такой определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Для приведения к треугольному виду используется то же самое свойство определителя n -го порядка, которое мы применяли в предыдущем параграфе: если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить произведение соответствующих элементов другой строки или столбца на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Проверить решение можно с помощью калькулятора определителей онлайн .

Свойства определителя n -го порядка

В двух предыдущих параграфах мы уже использовали одно из свойств определителя n -го порядка. В некоторых случаях для упрощения вычисления определителя можно пользоваться другими важнейшими свойствами определителя. Например, можно привести определитель к сумме двух определителей, из которых один или оба могут быть удобно разложены по какой-либо строке или столбцу. Случаев такого упрощения предостаточно и решать вопрос об использовании того или иного свойства определителя следует индивидуально.

Определитель матрицы (детерминант матрицы ) - это квадратная таблица чисел либо математических символов (Δd ).

Определение. Определителем матрицы n×n является число:

где (α 1 , α 2 ,...,α n ) - перестановка чисел от 1 до n , N (α 1 ,α 2 ,...,α n) - число инверсий в перестановке, суммирование происходит по всем вероятным перестановкам порядка n .

Определитель матрицы A в основном обозначают как de t(A), |A| , либо ?(A) .

Параметры, при помощи которых находится решение всех видов алгебраических матриц.

Чтобы найти определитель матрицы необходимо знать основные свойства матриц и последовательность действий при решении матрицы.

1. Для матриц порядка n=2 определитель находят при помощи формулы: Δ= a 11 * a 22 - a 12 * a 21
2. Для матриц порядка n=3 определитель находят через алгебраические дополнения либо при помощи метода Саррюса.
3. Матрица с размерностью >3 раскладывается на алгебраические дополнения, для которых находятся свои определители (миноры). К примеру, определитель матрицы 4 порядка вычисляется через разложение по строкам либо столбцам.

Для нахождения определителя матрицы , который содержит в матрице функции, используются стандартные методы. К примеру, найти определитель матрицы третьего порядка:

Воспользуемся разложением по первой строке:

Δ = sin(x) × + 1× = 2sin(x) cos(x) - 2cos(x) = sin(2x) - 2cos(x)

Вычислить определитель матрицы.

Вычислить определитель матрицы можно несколькими методами, которые будут перечислены ниже.

Самым популярным способом вычисления определителя матрицы является метод подбора алгебраических дополнений. Есть более простая версия этого метода - вычисление определителя при помощи правила Саррюса. Эти методы отличны при вычислении определителя простой небольшой матрицы, а если нужно посчитать матрицу большой размерности, тогда могут применяться такие методы вычисления определителя матрицы :

• вычисление определителя методом понижения порядка,
• вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду),
• вычисление определителя методом декомпозиции.

В Excel для расчета определителя используется функция =МОПРЕД (диапазон ячеек).

Здесь будут изложены те свойства, которые обычно используются для вычисления определителей в стандартном курсе высшей математики. Это вспомогательная тема, к которой будем обращаться из остальных разделов по мере необходимости.

Итак, пусть задана некая квадратная матрица $A_{n\times n}=\left(\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)$. Каждая квадратная матрица обладает характеристикой, которая называется определителем (или детерминантом). Я не стану вдаваться здесь в суть этого понятия. Если оно требует пояснений, то прошу отписать об этом на форум , и я коснусь данного вопроса детальнее.

Обозначается определитель матрицы $A$ как $\Delta A$, $|A|$ или $\det A$. Порядок определителя равен количеству строк (столбцов) в нём.

1. Значение определителя не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами, т.е. $\Delta A=\Delta A^T$.

   показать\скрыть

   Заменим в нём строки столбцами по принципу: "была первая строка - стал первый столбец", "была вторая строка - стал второй столбец":

   Вычислим полученный определитель: $\left| \begin{array} {cc} 2 & 9 \\ 5 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Как видите, значение определителя от проведённой замены не изменилось.

2. Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то знак определителя изменится на противоположный.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков :

   $$\left| \begin{array} {cc} 2 & 5 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Теперь поменяем местами первую и вторую строки. Получим определитель $\left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|$. Вычислим полученный определитель: $\left| \begin{array} {cc} 9 & 4 \\ 2 & 5 \end{array} \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Итак, значение исходного определителя равнялось (-37), а у определителя с изменённым порядком строк значение равно $-(-37)=37$. Знак определителя изменился на противоположный.

3. Определитель, у которого все элементы строки (столбца) равны нулю, равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|$ все элементы третьего столбца равны нулю, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|=0$.

4. Определитель, у которого все элементы некоей строки (столбца) равны соответствующим элементам иной строки (столбца) равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|$ все элементы первой строки равны соответствующим элементам второй строки, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end{array} \right|=0$.

5. Если в определителе все элементы одной строки (столбца) пропорциональны соответствующим элементам иной строки (столбца), то такой определитель равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Так как в определителе $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|$ вторая и третья строки пропорциональны, т.е. $r_3=-3\cdot{r_2}$, то определитель равен нулю, т.е. $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end{array} \right|=0$.

6. Если все элементы строки (столбца) имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|$. Заметьте, что все элементы второй строки делятся на 3:

   $$\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|$$

   Число 3 и есть общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:

   $$ \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -9 & 21 \end{array} \right|=\left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end{array} \right|= 3\cdot \left| \begin{array} {cc} -7 & 10 \\ -3 & 7 \end{array} \right| $$

7. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоей строки (столбца) прибавить соответствующие элементы иной строки (столбца), умноженные на произвольное число.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|$. Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это действие так: $r_2+5\cdot{r_3}$. Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.

   $$ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right| \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5\cdot{r_3}\\ \phantom{0} \end{array}= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|. $$

8. Если в определителе некая строка (столбец) есть линейная комбинация иных строк (столбцов), то определитель равен нулю.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Сразу поясню, что означает словосочетание "линейная комбинация". Пусть у нас есть s строк (или столбцов): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Выражение

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   где $k_i\in R$ называется линейной комбинацией строк (столбцов) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Для примера рассмотрим такой определитель:

   $$ \left| \begin{array} {cccc} -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end{array} \right| $$

   В этом определителе четвертую строку можно выразить как линейную комбинацию первых трёх строк:

   $$ r_4=2\cdot{r_1}+3\cdot{r_2}-r_3 $$

   Следовательно, рассматриваемый определитель равен нулю.

9. Если каждый элемент некоей k-й строки (k-го столбца) определителя равен сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме определителей, у первого из которых в k-й строке (k-м столбце) стоят первые слагаемые, а у второго определителя в k-й строке (k-м столбце) расположены вторые слагаемые. Иные элементы этих определителей одинаковы.

   Пример применения этого свойства: показать\скрыть

   Рассмотрим определитель $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|$. Запишем элементы второго столбца так: $\left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|$. Тогда такой определитель равен сумме двух определителей:

   $$ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end{array} \right|+ \left| \begin{array} {ccc} -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end{array} \right| $$

10. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц, т.е. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Из этого правила можно получить такую формулу: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Если матрица $A$ - невырожденная (т.е. её определитель не равен нулю), то $\det \left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det A}$.

Формулы для вычисления определителей

Для определителей второго и третьего порядков верны такие формулы:

\begin{equation} \Delta A=\left| \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21} \end{equation} \begin{equation} \begin{aligned} & \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|= a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{21}\cdot a_{32}\cdot a_{13}-\\ & -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11} \end{aligned} \end{equation}

Примеры применения формул (1) и (2) есть в теме "Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Примеры вычисления определителей" .

Определитель матрицы $A_{n\times n}$ можно разложить по i-й строке, используя следующую формулу:

\begin{equation}\Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in} \end{equation}

Аналог данной формулы существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:

\begin{equation}\Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation}

Правила, выраженные формулами (3) и (4), подробно проиллюстрированы примерами и пояснены в теме Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу) .

Укажем еще одну формулу для вычисления определителей верхних треугольных и нижних треугольных матриц (пояснение этих терминов см. в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины"). Определитель такой матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Примеры:

\begin{aligned} &\left| \begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end{array} \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin{array} {cccc} -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end{array} \right|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end{aligned}